Admin: finalizován tvar zápisu autorů hesel

2017-12-11T16:01:34Z

finalizován tvar zápisu autorů hesel

Admin: import na produkční server

2017-12-10T16:51:59Z

import na produkční server

Nová stránka

analýza regresní – (z lat. regressio, a to od regredi = ustupovat, couvat) – analýza statist. dat založená na matem.-statist. modelech regresních rovnic:
<math>Y = E(Y/X) + \epsilon</math>, kde <math>Y</math> je závislá (obecně i vektorová) proměnná,
<math>X</math> je nezávislá (vektorová) proměnná, jejíž složky se nazývají regresory nebo prediktory,
<math>\epsilon</math> je náhodná chyba s nulovou očekávanou hodnotou (<math>E\epsilon = 0</math> a nazývá se chybou regresní rovnice).
<math>E (Y/X)</math> je podmíněná očekávaná hodnota <math>Y</math> za předpokladu, že byly realizovány hodnoty <math>X</math>,
a v rovnici je vyjádřena pomocí regresní funkce, <math>E(Y/X) = g(X;\beta)</math>,
<math>g</math> je z určené třídy funkcí (např. lineární, polynomická ap., <math>\beta</math> jsou neznámé parametry této funkce).
Další předpoklady pro konkrétní modely specifikují: tvar funkce <math>g</math>, rozložení náhodné chyby, strukturu vztahů mezi <math>X</math> a <math>E</math>,
vlastnosti vektoru <math>Y</math>, korelovanost chyb pro jednotlivá pozorování (odchylek hodnot <math>Y</math> od hodnot určených modelem, tzv. reziduí modelu).
Mezi zákl. úlohy ''a.r.'' patří:
''1.'' odhad parametrů regresní rovnice za předpokladu určitého tvaru funkce <math>g</math> (lineární, logaritmická, kombinace exponenciel atp.) včetně určení přesnosti odhadu;
''2.'' ověření vhodnosti modelu pro daný soubor dat (testování modelu);
''3.'' predikce, extrapolace, diagnostika pomocí regresní rovnice (a určení její přesnosti);
''4.'' konstrukce a vyladění modelu podle vlastností struktury datového souboru;
''5.'' komparace regresních rovnic a jejich parametrů pro různé soubory.
''A.r.'' se používá v s-gickém výzkumu především pro cíle [[explanace]] a pro [[modelování kauzální|kauzální modelování]] (studium existence vlivů složek vektoru <math>X</math> na <math>Y</math>, intenzity jejích vlivů a charakter ovlivňování, tj. tvar funkce <math>g</math>).
Velký význam má ''a.r.'' pro [[prognostika|prognostiku]]:
řeší úkoly min. popisu vlastností <math>Y</math> pomocí složek vektoru <math>X</math> a nepřímého měření <math>Y</math> pomocí <math>X</math> a přijatého modelu;
umožňuje korekci hodnot <math>Y</math> o vlivy <math>X</math> (nežádoucí nebo oddělené), resp. jeho vybraných složek.
''A.r.'' se používá také pro zpřesnění odhadů populačních charakteristik proměnné <math>Y</math> ve výběrových šetřeních, s využitím dodatečné informace o <math>X</math> (regresní odhad).
Specif. užití má ''a.r.'' v ekonometrických modelech a časových řadách (autoregresní modely).
Pomocí ''a.r.'' lze řešit ''Wrightovy'' modely dráhových koeficientů (viz [[analýza drah]]).

Vybrané specif. modely ''a.r.'': ''1.'' Jednoduchá lineární regrese: <math>y = a + b x + \epsilon</math>,
<math>y</math>, <math>x</math> jednorozměrné proměnné, <math>\epsilon</math> je nezávislá na <math>X</math>,
individ. chyby pro jednotlivé případy, <math>y_i = a + b x_i + \epsilon_i</math> jsou nekorelované (zpravidla také předpokládáme jejich normalitu a stejné rozptyly).
V grafickém zobrazení je jednoduchá lineární regrese reprezentována regresní přímkou;
<math>a</math> je posunutí (na ose <math>y</math>);
<math>b</math> se nazývá regresní koeficient nebo směrnice (= <math>\operatorname{tg}</math> úhlu sevřenému regresní přímkou a osou <math>x</math>) a vyjadřuje převod <math>X</math> na <math>Y</math>:
<math>b</math> = ''rozměr'' <math>y/</math>''rozměr'' <math>x</math>, označuje přírůstek očekávané hodnoty <math>y</math> pro jednotkovou změnu <math>x</math>;
graficky lze chápat úlohu jednoduché lineární regrese jako nalezení přímky,
která nejlépe vyjadřuje změnu tendence <math>y</math> v závislosti na <math>x</math> v bodovém grafu dat <math>(X, Y)</math>.
Pro standardizované veličiny <math>Y</math> a <math>X</math> má regresní rovnice tvar <math>y = r x + \epsilon</math>, kde <math>r</math> = korelační koeficient.
Spec. případem je regrese počátkem (regresní přímka s rovnicí <math>y = b x + \epsilon</math> prochází bodem <math>x = 0, y = 0</math>).
Stupeň vhodnosti regresní přímky pro data se měří reziduálním rozptylem, <math>\operatorname{var}\epsilon</math>
a normalizované [[koeficient determinace|koeficientem determinace]] <math>r^2</math> vyjadřujícím podíl chyb na celkovém rozptýlení proměnné <math>y</math>.
Pomocí různých transformací lze metodami jednoduché lineární regrese řešit i nelineární vztahy,
např. <math>y = A\, e^{b x}</math> (transformace <math>y' = \operatorname{ln} x</math>),
<math>y = a + b\operatorname{ln}x</math> (trans. <math>x' = \operatorname{ln}x</math>),
<math>y = A\,x^b</math> (trans. <math>y' = \operatorname{ln}y</math>, <math>x' = \operatorname{ln}x</math>) atd.
Typické hypotézy, které testujeme u jednoduché lineární regrese,
jsou <math>H_0 </math>: <math>b = 0</math> proti <math>H_1</math>: <math>b = 0</math> nebo <math>H_2</math>: <math>b = 0</math> nebo <math>H_3</math>: <math>b = 0</math>;
<math>H_0</math>: <math>a = 0</math>, <math>H_0</math>: <math>b = 1</math>, <math>H_0</math>: <math>b_1=b_2</math> pro dva různé soubory.

''2.'' Vícenásobná (mnohorozměrná) lineární regrese: <math>y = \Sigma b_k x_k + \epsilon</math>,
<math>\epsilon</math> je nezávislá na všech <math>x_k</math>, individ. chyby <math>\epsilon_i</math>, jsou nezávislé, normálně rozložené veličiny se stejnými rozptyly.
Regresní koeficient <math>b_k</math> značí přírůstek očekávané hodnoty <math>y</math> při jednotkové změně <math>x_k</math>,
jsou-li všechny ostatní <math>x_j</math> konstantní (proto se <math>b_k</math> nazývá přesněji parciální regresní koeficient).
Model je rozšířením jednoduché lineární regrese.
K úloze odhadu <math>b_k</math> a testování vhodnosti modelu přibývá úloha zhodnocení vlivu jednotlivých proměnných,
komparace intenzit jejich vlivů na <math>Y</math> a vyloučení nepotřebných proměnných z regresní rovnice.
Pro <math>x_k</math> měřené v různých jednotkách není srovnání <math>b_k</math> možné,
částečné srovnání je umožněno přechodem ke standardizovaným proměnným <math>y</math> a <math>x_k</math> to poskytuje standardizované regresní koeficienty <math>\beta_k</math>.
Pro určení nejmenší podmnožiny regresorů, která statisticky významně ovlivňuje změnu <math>Y</math> (podílí se na vysvětlení variability <math>Y</math>),
se používají metody krokové ''a.r.'' (přidáváním regresorů do regresní rovnice, ubíráním z ní nebo kombinací obou),
regrese na hlavní komponenty regresorů, analýza vlastních čísel, metoda všech podmnožin <math>X</math>.
Vhodnost modelu a přesnost odhadů je narušena v případě kolinearity, tj. vzájemné lineární korelovanosti regresorů.
Vliv kolinearity se pokouší eliminovat metoda hřebenové regrese, regresní rovnice na hlavní komponenty a ''a.r.'' vlastních čísel;
dodatečným prvkem regresního modelování je možnost formulovat omezení, která vyjadřují lineární vztahy mezi regresními koeficienty.

''3.'' Polynomická regrese: <math>y = b_0 + b_1 x+ b_2 x^2 +\ \ldots + b_K x^K + \epsilon</math> je rozšíření jednoduché lineární regrese o kvadratický, kubický, bikvadratický atd. člen.
Je spec. případem vícenázorné lineární regrese, v níž <math>X_k = X^k</math>.
Vzájemná závislost regresorů, které všechny vycházejí z jedné proměnné <math>X</math>, je překonávána pomocí metody tzv. orthogonálních polynomů.

''4.'' Nelineární regrese: pro spojitou proměnnou vyjadřuje obecný vztah pro explicitně zadanou funkci <math>g</math>,
přičemž se předpokládá většinou normalita rozložení chyby;
řešení se provádí přímo iteračními metodami, bez převodních transformací na jednoduchou lineární regresi.

''5.'' Logistická regrese: specif. případ vyrovnání dat pomocí logistické <math>S</math>-křivky <math>y = A + B \, e^{a + bx} / (1 + e^{a + bx})</math>.
Model se v praxi zjednodušuje podle situace dosazením známých číselných hodnot (např. <math>A = 0</math>, <math>B =</math> ''horní hranice růstu'').

''6.'' Logitová a logistická regrese pro kategorizovaná data: vyjadřuje vztah mezi logitem četností a hodnotami nezávislých (kategorizovaných i číselných) proměnných:
<math>\operatorname{logit} p = \operatorname{ln} (p/(1-p)) = b_0 + \Sigma b_k x_k</math>,
kde <math>k</math> je složený index podle kategorií, číselných proměnných a vzájemných kombinací.
Obdobně existuje probitová regrese (nezávislou proměnnou je inverzní normální distribuční funkce četnosti) a další.

''7.'' A.r. v kontingenčních tabulkách pro dvě i více proměnných:
zahrnuje různé modely vztahu mezi kategoriemi dvou proměnných a závislosti jedné kategorizované proměnné na několika nezávislých kategorizovaných proměnných.

Specif. užitím jednoduché regresní rovnice (lineární i nelineární) je vyjádření trendů časové řady (vyhlazení křivky vývoje <math>y</math>),
je-li za <math>X</math> vzata časová osa.
Nejčastější metodou odhadu parametrů je metoda nejmenších čtverců (minimalizuje reziduální rozptyl).
Metoda max. věrohodnosti vychází z předpokladu normality reziduí a hledá max. shodu normální plochy a dat.
Pro složitější případy (korelovanost chyb a regresů, vzájemná korelovanost individ. chyb, zvl. vazby mezi složkami vektorového <math>y</math>, apod.) se používají spec. regresní metody:
dvoustupňová a třístupňová, se zdánlivě závislými chybami, metoda instrumentu a další.
Jako obrana proti netypickým a vychýleným případům a proti porušení distribučních předpokladů jsou aplikovány robustní a [[metody neparametrické|neparametrické metody]].

<div class="translations">
regression analysis
analyse de la régression
Regressionsanalyse
analisi di regressione
</div>

Literatura: ''Draper, N. R.'' – ''Smith, H.'': Applied Regression Analysis. New York 1981; ''Haberman, S. J.'': Analysis of Qualitative Data, vol. 1. New York 1979; ''Smillie, K. W.'': An Introduction to Regression and Correlation. Toronto 1966.

-- ''[[:Kategorie:Aut: Řehák Jan|Jan Řehák]]'' 
[[Kategorie:Aut: Řehák Jan]]
[[Kategorie:Metodologie/matematicko-statistické metody v sociologii]]
[[Kategorie:VSgS]]

@@ Řádek 95: / Řádek 95: @@
 <span class="section_title">Literatura:</span> ''Draper, N. R.'' – ''Smith, H.'': Applied Regression Analysis. New York 1981; ''Haberman, S. J.'': Analysis of Qualitative Data, vol. 1. New York 1979; ''Smillie, K. W.'': An Introduction to Regression and Correlation. Toronto 1966.
--- ''[[:Kategorie:Aut: Řehák Jan|Jan Řehák]]''<br />
+''[[:Kategorie:Aut: Řehák Jan|Jan Řehák]]''<br />
 [[Kategorie:Aut: Řehák Jan]]
 [[Kategorie:Metodologie/matematicko-statistické metody v sociologii]]
 [[Kategorie:VSgS]]

Analýza regresní - Historie editací

Admin: finalizován tvar zápisu autorů hesel

Admin: import na produkční server