Analýza faktorová (MSgS)

analýza faktorová (MSgS) je matematicko-statistická metoda, která umožňuje — zvláště v málo pokročilých vědních oborech nebo oblastech — empiricky stanovit vhodné popisné kategorie (vlastnosti). Je vhodná zvláště tehdy, je-li dáno větší množství objektů (aspoň několik desítek), popsaných větším počtem kvantitativních proměnných (zpravidla aspoň patnácti), získaných na základě jednorázového měření.

Východiskem faktorové analýzy je korelační matice, tj. interkorelace mezi všemi zjišťovanými proměnnými. Jejím výsledkem je faktorová matice, tj. soupis stanovených faktorů (obvykle vlastností), které jsou empiricky definovány tzv. faktorovými zátěžemi, tj. korelacemi s výchozími proměnnými. Tato identita platí — stejně jako dále uvedené rovnice — pouze pro případ matematicky nezávislých, tzv. ortogonálních faktorů.

Faktorová analýza je založena na lineárním modelu, tj. na předpokladu, že všechny zkoumané proměnné jsou lineárními kombinacemi faktorů. Pak platí pro typický objekt:

[math]z_{ji} = a_{j1} F_{1i} + a_{j2} F_{2i} + a_{j3} F_{3i} + \dots,[/math] (1)

kde [math]z_{ji}[/math] = individuální skóre (hodnota) proměnné [math]z_j[/math], [math]a_{j1}, a_{j2}, \dots = [/math] faktorové zátěže jednotlivých faktorů v příslušné proměnné, [math]F_{1i}, F_{2i}, \dots = [/math] faktorová skóre individua (objektu).

(Faktorová skóre i skóre v proměnné [math]z_{j}[/math] jsou míněna ve standardní transformaci, kdy průměr je roven nule a standardní odchylka je rovna jedné.)

Jednotlivé korelace mezi proměnnými jak jsou pak dány vztahem:

[math]r_{jk} = a_{j1} a_{k1} + a_{j2} a_{k2} + a_{j3} a_{k3} + \dots[/math] (2)

První etapa celého postupu záleží v tzv. extrakci faktorů, tj. stanovení co nejmenšího počtu faktorů, kterými je možno vysvětlit všechny korelace mezi proměnnými a z nichž je možno (podle vztahu 2) reprodukovat korelační matici. Tím je dosaženo maximální úspornosti v popisu zkoumaných objektů, které byly dosud charakterizovány větším, málo přehledným množstvím proměnných.

Protože extrahované faktory jsou do značné míry libovolné (téže úspornosti v počtu faktorů lze dosáhnout nekonečně mnoha způsoby), provádí se ještě úprava tzv. rotací faktorů, a to obvykle podle principu jednoduché struktury. Jednoduché struktury je dosaženo, když každá proměnná je popsána co nejmenším počtem stanovených faktorů, tj. když ve vztahu (1) je co nejvíce hodnot [math]a_j[/math] (faktorových zátěží) blízkých nule. Někteří autoři doporučuji rotaci podle smyslu, tj. tak, aby faktory byly co nejvíce v souladu s hypotézami o povaze zkoumaných proměnných, a to i za cenu, že nebude dosaženo jednoduché struktury. Výsledkem rotace jsou často „šikmé“, tj. korelované (statisticky ne zcela nezávislé) faktory.

Extrakce faktorů a rotace do jednoduché struktury mohou být plně formalizovány a provádějí se v současné době většinou pomocí samočinných počítačů.

Poslední etapou faktorové analýzy je interpretace stanovených faktorů na základě faktorových zátěží. Faktor bývá interpretován podle obsahu proměnných, ke kterým má nejužší vztah (tj. podle svých nejvyšších zátěží). Provádí-li se rotace podle smyslu, implikuje už částečně interpretaci. Stanovené faktory se často shodují s již známými pojmy, jejichž obsah i rozsah se pak faktorovou analýzou pouze upřesňují. Jindy jsou výsledkem faktorové analýzy faktory, které — jsou-li dostatečně průkazné — stimulují vytvoření nových pojmů.

Kromě základní formy faktorové analýzy (jednorázové měření více proměnných u většího počtu objektů — tzv. forma R) se užívá odvozených forem, kdy se vychází zvláště z opakovaných měření většího počtu proměnných u jednoho objektu, nebo z opakovaných měření jedné proměnné u většího počtu objektů.

Faktorová analýza byla navržena pro potřeby psychologie. První jí použil počátkem století Ch. Spearman k výkladu korelací mezi testy intelektových schopností. Dnešní podobu jí dal v 30. letech L. L. Thurstone, který použil maticové algebry a pojmů η- rozměrné geometrie. Dnes je faktorová analýza metodou nezbytnou pro výzkum schopností (J. P. Guilford) a povahových vlastností (R. B. Cattell, H. J. Eysenck).

Mimo oblast výzkumu osobnosti (tzv. statické struktury osobnosti) se faktorové analýzy používá dosud málo. Hodí se však i pro výzkum vývojových procesů a dynamiky stavů, a to i mimo psychologii, zejména v sociologii, ale např. i v meteorologii.

Faktorová analýza je zvláštním případem analýzy korelačních vztahů mezi znaky zjišťovanými na nějaké třídě objektů. Pro případ znaků, které jsou dány pouze kategoriálně (což je v sociologii častější), navrhl P. Lazarsfeld analýzu latentní struktury, která je obdobou faktorové analýzy.

Literatura: Cattell R. B., Factor Analysis, McGraw — Hill, New York, 1952; Cattell R. B., Personality and Motivation Structure and Measurement, Harcourt, New York, 1957; Cattell R. B., Personality and Social Psychology, Knapp, San Diego, 1964; Eysenck H. J., The Structure of Human Personality, London, 1960 (2. vydání); Guilford J. P., Personality, McGraw — Hill, New York, 1959; Harman H. A., Modern Factor Analysis, Univ. of Chicago Press, 1967 (2. vydání); Tardy V., Psychologie osobnosti, Praha, 1964; Thurstone L. L., Multiple-Factor Analysis, Univ. of Chicago Press, 1947.

Pavel Říčan