Procesy stochastické
procesy stochastické – jsou matem. abstrakcí empir. procesů, jejichž chování je dáno pravděpodobnostními zákonitostmi. P.s. se zavádějí jako soustava náhodných veličin [math]X(t)[/math], [math]t \in T[/math] definovaných na množině [math]T[/math]. Množina [math]T[/math] je často chápána jako množina časových okamžiků a [math]X(t)[/math] označuje pozorování v čase [math]t[/math]. V závislosti na charakteru množiny [math]T[/math] se p.s. rozdělují na procesy s diskrétním parametrem (časem), jestliže [math]T[/math] je spočetná množina, a na procesy se spojitým časem, je-li [math]T[/math] interval. Stavem p.s. nazýváme reálné číslo [math]x[/math], pro které existuje alespoň jedno [math]t \in T[/math] takové, že [math]P \{ x - \epsilon \lt X(t) \lt x + \epsilon \} \gt 0[/math] pro libovolné [math]\epsilon \gt 0[/math]. Je-li [math]X[/math] spočetné, pak hovoříme o stavově diskrétním procesu. Množinu [math]X[/math] zobrazujeme v tomto případě na množinu přirozených čísel, takže stavy označujeme čísly 1, 2, …. Je-li [math]X[/math] interval či sjednocení intervalů, pak příslušný p.s. nazýváme stavově spojitým. Pro pravděpodobnostní specifikaci p.s. se užívá distribuční funkce [math]F(x;t) = P \{ X(t_1) \lt x_1, X(t_2) \lt x_2, \ldots, X(t_n) \lt x_n \}[/math] pro všechna [math]x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)[/math] a [math]t = (t_1, t_2, \ldots, t_n)[/math], [math]n \in N[/math]. P.s. se kromě klasifikace podle charakteru množin [math]X[/math] a [math]T[/math] rozdělují podle charakteru pravděpodobnostních závislostí mezi [math]X(t)[/math] pro různé hodnoty [math]t \in T[/math]. Stacionární p.s. jsou invariantní k posunům v čase, tj. pro libovolné [math]\tau[/math] platí pro distribuční funkci [math]F(x;t+\tau)=F(x;t)[/math]. Markovovy procesy jsou spec. případem p.s., jestliže pro libovolnou [math]n[/math]-tici z [math]T[/math] platí pro podmíněné pravděpodobnosti vztah [math]P \{ X(t_n) \lt x_n / X(t_1) \lt x_1, X(t_2) \lt x_2, \ldots, X(t_{n-1}) \lt x_{n-1} \} = P \{ X(t_n) \lt x_n / X(t_{n-1}) \lt x_{n-1} \}[/math]. U Markovových procesů ovlivňuje minulost budoucí vývoj pouze prostřednictvím současného stavu. V případě, že [math]T[/math] je diskrétní množina, pak se takový p.s. nazývá Markovův řetězec. Spec. případem Markovových procesů jsou p.s. (se spojitým i diskrétním časem), v nichž může docházet k přechodům pouze mezi sousedními stavy – tyto procesy se nazývají procesy množení a úmrtí (birth and death processes). Naopak zobecněním Markovových procesů jsou semimarkovovské procesy, v nichž mohou být délky časových intervalů mezi změnami stavů hodnoty libovolných náhodných veličin. Sledujeme-li semimarkovovský proces v podmnožině časové množiny [math]T[/math], přičemž podmnožina obsahuje pouze ty prvky z [math]T[/math], v nichž dochází ke změnám stavů, chová se proces stejně jako Markovův proces, takže hovoříme o vnořeném Markovově procesu. Pro modelování dynamických a pravděpodobnostních systémů jsou p.s. a jejich spec. případy (Markovovy procesy, procesy množení a úmrtí apod.) jedním z nejužitečnějších teor. nástrojů. Ve většině případů představují hranice použitelnosti semimarkovovských procesů zároveň dnešní hranice analytické řešitelnosti příslušných matem. modelů. Modely, které svým charakterem vybočují z koncepce semimarkovovských procesů, jsou většinou řešitelné jedině použitím simulačních metod. Tento závěr je patrný na současném stavu řady disciplín operačního výzkumu, např. tzv. hromadné obsluhy (viz teorie front), teorie obnovy a teorie zásob.
stochastic processes processus stochastiques stochastische Prozesse processi stocastici
Literatura: Howard, R. A.: Dynamic Probablistic Systems, Vol. I., II. New York 1971.